学习和研究数学哲学和数学史

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篇1：学习和研究数学哲学和数学史

学习和研究数学哲学和数学史

从初出茅庐漫无边际的自学,到确定以数学哲学和数学史为研究方向;从的准备阶段,到集中力量进行研究;从论文不能发表到出书;从参加省级的学术会议到参加国际学术会议,作者学习和研究数学哲学和数学史的.道路是不平坦的.

作 者：汤彬如  作者单位：南昌教育学院,江西,南昌,330006 刊 名：南昌教育学院学报 英文刊名：JOURNAL OF NANCHANG COLLEGE OF EDUCATION 年，卷(期)： 18(1) 分类号：B2 关键词：学习  研究   数学哲学   数学史  

篇2：从数学史角度研究数学学习动机

从数学史角度研究数学学习动机

动机是行为发动的起因,也即个体用某种形式活动的主观原因.动机分为内在动机与外在动机.数学研究的动机是一种内在动机,并且是从生理需要出发的,不断发展成为满足社会需要、推动数学研究的驱力.数学学习动机是指与数学学习有关的某种需要所引起的、有意识的行为倾向,是激励或推动学生去行为、以达到一定的数学学习目的(标)的内在动因[1].教育家们相信,有效的学习要求每个学习者回溯所学学科历史演进的主要步骤[2].所以有必要从数学史角度研究数学学习动机.

一、逻辑推理与实际应用是数学学习动机

数学发展的历史包括两种典型的数学文化:一种是重视逻辑推理的希腊数学文化,一种是重视实际应用的中国数学文化.

数学史家将古希腊数学按时间分期:第一期从公元前6到前323年;第二期从公元前323年到前30年,也称亚历山大前期;第三期从公元前30年到公元600年,也称亚历山大后期[3].前两个时期,希腊数学文化认为,数学命题只有通过几何形式的逻辑推理论证才能说明其正确性,论证数学成为数学研究的主流,几何形式的逻辑推理证明成为数学成果正确与否的衡量标准.这个标准逐渐发展成为对数学研究的期望或理想,即期望数学成果能够通过几何形式的逻辑推理来论证.在“亚历山大后期”,古希腊数学突破了之前以几何为中心的传统,算术、数论和代数逐渐脱离了几何的束缚.这一时期受罗马实用思想的影响,论证数学不再盛行,如海伦的《量度》中有不少命题没有证明.但论证数学中的逻辑推理在数学研究中仍占有重要位置,如丢番图《算术》书中采用纯分析的途径处理数论与代数问题[4].逻辑推理从几何论证中脱离出来,逻辑推理解决问题的思想发展成为数学研究的新理想,即希望数学问题可以通过纯逻辑推理的方法解决.纵观整个希腊数学文化,数学研究成为满足上述两种理想而付出的劳动,成为实现个人价值、满足求知欲的社会需求而付出的劳动.究其本质,逻辑推理思想是几何论证与分析法解决问题的根本,是上述两种理想中最本质的思想,并且满足动机的定义.因此它是古希腊数学研究的一个动机,也是人类进行数学研究的一个动机.

中国古代数学在整体发展上表现为算法的建构和改进[5].所谓“算法”不只是单纯的计算,而是为了解决一整类实际或科学问题而概括出来的、带有一般性的计算方法[4].算学的目的在于解决实际问题,而实际问题是层出不穷的,因此中国古代数学不仅经受住了统治者废除“明算”科的考验,甚至还有所发展,如元末明初珠算的普及.随着中国数学文化的形成,用数学知识解决实际问题成为算学的理想,即期望数学成果能够被实际应用.中国古代数学研究成为受这个理想而支配的劳动,成为实现个人价值、满足求知欲的社会需求而付出的劳动.实际应用满足动机的`定义,因此它是中国古代数学发展的一个动机,也是人类进行数学研究的一个动机.

所以逻辑推理与实际应用是人类进行数学研究的两个动机,按动机的分类它们属于驱力,是从生理需要出发的内在动机.数学学习可以认为是有方向性的对已有数学成果的再次研究过程,可以看作是数学研究的特例形式.依据历史发生原理综合分析得出:人类进行数学研究的内在动机一定会在数学学习中表现出来,即激励人类研究数学的内在动机与激励学生学习的内在动机是一致的.

从实际情况出发,逻辑推理可以作为生活中一种娱乐形式,如逻辑推理游戏、逻辑推理小说、逻辑推理电影等都深受公众喜欢;而实际应用也是大家十分感兴趣的,如通过应用基本的空气动力学知识制作航模.

综上所述,逻辑推理与实际应用是数学学习动机,且这两个数学学习动机是学生共有的、内在的,也是在实际教学中易于对学生进行培养的数学学习动机.

古希腊数学中的公理化思想是希腊数学文化的重要特点之一.公理化思想出现的标志是欧几里得的《几何原本》.在数学中引入逻辑因素,对命题加以证明,一般认为是从伊奥尼亚学派开始的,但毕达哥拉斯学派在这一方面作了重大的推进,他们的工作可以说是欧几里得公理化体系的前驱[3].因此公理化思想的提出要晚于逻辑推理思想,公理化思想是逻辑推理思想的发展.

算法程序化思想是中国数学文化的另一个重要特点.算法程序化思想出现的标志是成书于公元前后的《九章算术》.实际应用思想虽没有明确的出现标志,但在《九章算术》成书前的《周髀算经》、《算数书》等书中涉及的数学知识都蕴含着明确的实际应用思想.算法的提出是为了解决一类实际问题,算法程序化为了使算法严谨、简明、更富一般性.因此算法程序化思想的提出要晚于实际应用思想,且算法程序化思想是实际应用思想的发展.

随着数学发展,公理化思想与算法程序化思想已应用到现代数学中,成为现代数学的特点.但它们不是贯穿整个古希腊数学与中国古代数学研究的内在因素,而是逻辑推理与实际应用数学思想发展的衍生物.公理化思想与算法程序化思想也可作为数学学习的动机,但适宜群体明显要少得多.数学发展至今,数学本身的文化区域性特点淡薄了,希腊数学文化与中国数学文化背后的驱力――逻辑推理与实际应用思想,早已相互融合.近代微积分的应用及理论的严密化过程就是一例.

二、比较古今数学教材以研究初中教材两个学习动机的培养

教材是教学中最重要的用书之一,是教师教学、学生学习的主要依据.《几何原本》、《九章算术》作为西方与中国的数学教科书都有千年之久.两本着作都反映了当时的数学文化背景.重视逻辑推理与重视实际应用分别成为教学思想包含在这两本书中.

因为《九章算术》作为教材多将刘徽注释加入其中,所以将现行数学教材与《几何原本》、《九章算术及刘徽注》进行比较研究.为增加3者的可比性,选择它们共有的内容,且知识体系完备,预备知识基本一致,学生认知水平大抵相同的勾股定理部分作为比较对象.这种比较虽不能以点代面,但仍有较强的代表性与启发性.现行数学教材采用经全国中小学教材审定委员会初审通过的义务教育课程标准实验教科书八年级数学下册[6],以第18章第1节勾股定理内容为标准,选择《几何原本》、《九章算术及刘徽注》部分内容进行比较.因《几何原本》的成书结构是公理化体系,利用已知命题证明未知命题,且命题后没有辅助理解该命题的习题,所以选择其中与勾股定理有关或利用勾股定理证明的命题作为比较对象.由于初中教材在讲解勾股定理时,预备知识中未包含圆、无理量及立体几何内容,故选择《几何原本》[7]第Ⅰ卷命题47、48,第Ⅱ卷命题9、10、11、12、13作为比较对象.《九章算术及刘徽注》的勾股章是利用直角三角形性质求高深广远,因初中教材勾股定理的预备知识中没有相似三角形及勾股数组的内容,所以选择《九章算术及刘徽注》[8]勾股章[一]至[一四]题及[一六]题作为比较对象.

1.各种教材中勾股定理的内容

(1)编写目的

《全日制义务教育数学课程标准(修改稿)》(下简称为《标准》)中勾股定理的教学要求是:探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题[9].《几何原本》与《九章算术及刘徽注》虽没有类似的编写标准,但可以从它们的内容及成书体系分析得出.《几何原本》利用勾股定理转换面积间关系证明几何问题,即在直角三角形中,两直角边上正方形面积和与斜边上正方形面积可以相互转换.如第Ⅱ卷命题9、10、11、12、13都是利用这种思想.《九章算术及刘徽注》利用勾股定理数量关系求得高深广远,解决实际生活的问题.

(2)知识框架

初中教材通过生活发现与几何直观探索,建立从实际到理论再到实际的知识体系,并运用定理解决简单问题.《几何原本》通过已知命题推导勾股定理,建立从理论到理论纯几何形式的知识体系,重在证明未知命题.《九章算术及刘徽注》通过给出3个简单几何问题“术”,建立从理论到实际的应用知识体系,旨在解决实际问题.3者建构的知识框架各不相同.

(3)定理引入

初中教材的导入分为两部分,分析毕达哥拉斯发现的定理特例与探究定理的一般形式.《几何原本》受公理化体系的影响,它的导入可以认为是定义、公理、公设及已知命题.《九章算术及刘徽注》的导入是3个已知两边求第三边的简单几何问题.

(4)定理表述

初中教材用特例猜想定理的一般形式给出勾股定理[6]:如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边为c,那么《几何原本》的勾股定理以命题形式给出:在直角三角形中,直角所对边上的正方形等于夹直角两边上的正方形[10].《九章算术及刘徽注》中的勾股定理以3个简单几何问题术的形式给出:勾股各自乘,并,而开方除之,即弦[8].3者对比,初中教材体现数形结合的勾股定理且形体现在边长上;《几何原本》中体现形的勾股定理且形体现在面积上;而《九章算术及刘徽注》体现数的勾股定理.各自的表述为其内容服务,它们之间存在一定差异.

(5)定理证明

初中教材利用我国古代赵爽的弦图(如图1、图2、图3),通过图形旋转证明定理猜想.这种证明方法是近年来学者们倾向于“古证复原”思想提出的.初中教材对定理证明如下[6]:

赵爽注释的《周髀算经》对勾股定理的证明如下:案弦图又可以勾、股相乘为朱实二,倍之为朱实四.以勾股之差自相乘为中黄实.加差实一亦成弦实[8].

两种解释代表两种证明思想,赵爽弦图及其证明方法未成最终定论.初中教材选择历史上的数学作为定理证明既应符合历史,又应符合学生认知习惯.图形旋转是否是赵爽的弦图思想,是否符合学生对一般几何问题证明的思维形式,仍需再斟酌.

《几何原本》用三角形全等说明图形之间面积相等,来证明定理,如图5.《九章算术及刘徽注》中勾股定理的证明是刘徽给出的,利用出入

篇3：中日数学哲学比较研究

中日数学哲学比较研究

本文认为,中日数学哲学之共同点在于双方都十分重视马克思、恩格斯有关著作与数学思想方法的研究,而异同点主要表现在:经典著作认识上的`哲学价值观与科学史观;研究成果上的理论性与实用性;开展活动上的计划性与灵活多样性.如果双方能互为借鉴,取长补短,则各自必有更大发展.

作 者：张富国 解恩泽  作者单位：东北师范大学,科技哲学与交叉科学研究中心,吉林,长春,130024 刊 名：自然辩证法研究  PKU CSSCI英文刊名：STUDIES IN DIALECTICS OF NATURE 年，卷(期)： 18(2) 分类号：N031 关键词：数学哲学   经典著作   价值观   科学史观  

篇4：数学史与数学教育读后感

数学史与数学教育读后感

《数学史与数学教育》这本书全面展示数学发展的概况，以及弥补学校教育中内容偏少、严重与现代数学发展脱节的缺陷，克服受教育者“只见树木不见林”的局限性；强调数学是人类创造活动的过程，而不单纯是一种形式化的结果；运用辨证唯物主义的观点看待数学科学及数学教育，在他们的形成和发展过程中，不但表现出矛盾运动的特点，而且它们与社会、政治、经济以及一般人类的文化有着密切的联系。

数学的历史源远流长。在早期的人类社会中，数学与语言、艺术以及宗教一并构成了最早的人类文明。对于数学是什么的问题，不同的社会群体都有不同的理解。在当代数学家的共同体中，一般将数学看作是“模式”的科学，用以“揭示人们从自然界和数学本身抽象世界中所观察到的结构和对称性。”数学科学以抽象的理论为核心，这个核心一方面依靠自身的内能、运用逻辑的链条发展新的理论，另一方面又不断从现实世界的问题中发现问题、吸取营养并创造出解决现实问题的思想方法，形成了以纯粹数学为核心、由众多同心核层结构组成的庞大的'理论与应用体系。按照美国《数学评论》的统计，数学科学包括了约六十二个二级学科和四百多个三级学科。数学是最抽象的科学，而最抽象的数学却能催生出人类文明的绚烂的花朵。这使数学成为人类文化中最基础的学科，对此恩格斯指出：数学在一门科学中的应用程度，标志着这门科学的成熟程度。在现代社会中，数学正在对科学和社会的发展提供着不可或缺的理论和技术支持。虽然数学在现代社会中的应用是广泛的，但却不易为大众所察觉。当人们惊叹原子弹的巨大威力时，却很难知道和真正理解它所依赖的“质能公式”；当人们接受CT扫描仪的检查和诊断时，很少有人理解它的设计原理：拉东变换；当人们尽情享受动画片的娱乐时。很少联想制作这些动画背后的数学方法。数学是无声的音乐，无色的图画。数学家默默地奉献着自己的聪明和才智，他们在逻辑的链条上构筑着人间的奇迹。一个民族数学修养的高低，对这个民族的文明有很大的影响。然而，在现代所谓的“热门学科”中，人们常常难以提到数学学科。当代数学家哈尔莫斯对此深表感触道：甚至受过高等教育的人们，都不知道我的学科存在，这使我感到伤心！

与其他学科相比，数学科学经历了更长的历史进程。在科学的其他分支中，物理学形成较早，但它也仅有几百年的历史，而数学的历史已经走过了两千多年。数学史是研究数学发展规律的科学。它研究数学概念、数学方法和数学思想的起源和发展，同时也研究与之相关的社会政治、经济和一般文化的联系。数学学科的累积性以及高度抽象而且模式化的特点，使得它在学校的教育中面临着十分尴尬的局面。数学作为现代化社会中不可或缺的基础学科，本应在学校课程中拥有更多的现代数学内容。但实际情况是，到了高中阶段的数学课程仍只有少量的现代数学知识，更多的是17世界中叶之前的初等数学，而大学一年级的微积分，也只有18世界的数学成果，大量的近代与现代数学难以进入大众化的教育课程。我国在20世纪60年代制定”了加强双基，培养三大能力”的数学教育目标，力图在学校教育中使学生掌握数学基础知识和基本能力，发展学生的数学计算、逻辑推理和空间想象能力。这一目标充分体现了学科自身的特点，却仍然使不少的受教育者畏惧不前，甚至产生对数学学习的厌倦情绪。两千多年前产生的欧几里得几何学是数学思想、方法的重要组成部分，也是自古以来学习数学的必修课程。但在现代的学校教育中，欧几里得学变得食之无味而弃之不舍。在过去的半个世纪中，国际数学教育的改革浪潮跌宕起伏，历尽艰险。我国国家教育部分分别于20xx年和20xx年办法了九年义务教育和高中数学教育的课程标准，突出了“以人为本”、全面实施素质教育的改革目标。大众教育、学生为主体、增强应用意识、淡化形式、注重实质等一系列数学教育的思想与理念在全球性的数学教育改革中应运而生。

篇5：数学史与小学数学教学

【摘要】20世纪70年代，数学史与数学教育之间的关系就成了数学教育的研究领域。

在小学阶段，能用于数学教学的历史素材可以按照其作用来分类;学生对数学的理解过程和数学的历史发展过程有一定的相似性;教师在教学中运用数学史的方式主要有附加式、复制式、顺应式和重构式等。

【关键词】数学史;教育取向;历史相似性;运用方式

【作者简介】汪晓勤，华东师范大学数学系(上海，41)教授，博士生导师，中国科学院科学技术史博士，全国数学教育研究会副理事长，全国数学史学会副理事长，《数学教育学报》副主编。

奥地利著名物理学家和哲学家马赫曾经说过：“没有任何科学教育可以不重视科学的历史与哲学。”这一观点同样适用于数学教育。

也许有人会说：“我对数学史一无所知，不也把数学教得很好吗?”诚然，在我们今天这个以分数论英雄的时代，这句话或许并没有错。

但是，如何解决“分数可观、情感消极”“解题无数、理解缺失”等矛盾?如何在课堂上营造“知识之谐”、展示“方法之美”、实现“情感之悦”，从而让学生接受更美好的数学教育呢?把数学史融入小学数学教学，是值得我们探索的一条理想途径。

实际上，早在20世纪70年代，数学史与数学教育之间的关系(History and Pedagogy of Mathematics，简称HPM)就已经成了数学教育的一个研究领域。

走进小学数学的世界，我们赫然发现，有关HPM研究的主题竟如此丰富多彩、引人入胜。

限于篇幅，本文只讨论其中的三个主题。

一、教育取向的数学史

数学史是一座巨大的宝藏，其中包含大量的教学素材。

数学史之所以有着“高评价、低应用”的境遇，原因固然有很多种，但数学教师手头缺乏实用的数学史素材，是最主要的原因之一。

另一方面，对小学数学教学中许多问题的'探讨，如小数和分数孰先孰后、简易方程的必要性等，都需要以数学史作为参照。

因此，教育取向的数学史研究是HPM领域不可或缺的基础性工作。

教育取向的数学史料浩如烟海，大致可以按照其作用来分类，下面举两类例子。

1.“情感”取向的历史素材。

比利时科学史家萨顿曾经说过：“在科学和人文之间只有一座桥梁，那就是科学史，建造这座桥梁是我们这个时代的主要文化需要。”据此，我们同样可以说：“在数学和人文之间只有一座桥梁，那就是数学史，建造这座桥梁是我们这个时代数学教育的需要。”小学数学在培养学生的数学思维，让学生掌握基本知识和技能的同时，还应该传递数学背后的人文精神，为塑造学生的人格品质提供正能量。

数学是人类的文化活动，不同时空的数学家都对数学的发展做出过贡献，他们的勤奋、执着、坚韧、担当，他们对真、善、美的不懈追求，无不是我们宝贵的精神财富。

古希腊数学家泰勒斯勤于天文观测，坚持不懈，风雨无阻，有一次竟不慎掉入水沟，他通过拼图发现了三角形内角和定理。

中国南北朝时期的数学家祖(祖冲之之子)在思考问题时专心致志，天打响雷都听不见，走路时竟撞上仆射徐勉，徐勉叫唤后才醒悟过来，他最终解决了球体积的难题。

17世纪英国哲学家霍布斯40岁开始学习数学，最终成为数学家。

19世纪苏格兰数学家华里司逆境成才，从一名书籍装帧的学徒工到爱丁堡大学数学教授，谱写了人生的传奇。

沟通数学与人文，能更全面地发挥数学的育人价值。

但是，在小学数学课堂上太缺乏数学故事了，需要我们不断从数学史文献中去发掘、整理和加工。

2.“方法”取向的历史素材。

每一个公式和法则都有它的历史，无论是它背后的思想方法，还是它从不完善到完善的演进过程，都能为教学提供借鉴。

以“分数除法”为例，成书于1世纪的《九章算术》采用通分法：■÷■=■÷■=■;而印度数学家婆罗摩笈多(7世纪)和婆什迦罗(12世纪)采用我们熟悉的颠倒除数分子分母法：■÷■=■×■=■;这种方法在15―16世纪的欧洲却鲜为人知。

欧洲人除了采用《九章算术》中的通分法，还采用了很流行的交叉相乘法[1]：■。

直到17世纪，颠倒除数分子分母法才逐渐被人们广泛采用。

从教材中我们可能只能看见一棵树，从历史中我们却可能会看到一片森林。

二、历史相似性

所谓历史相似性，是指人对数学的理解过程与数学的历史发展过程具有一定的平行性，这是数学史融入数学教学的理论基础。

但是，学生对某个数学概念的理解是否真的存在历史相似性，需要我们做深入细致的实证研究。

如果历史相似性得到印证，那么，数学史就成了一面镜子，通过这面镜子，教师可以预测学生对有关知识点可能会产生的认知困难，从而制订合理的教学策略。

例如学生对“除以零”的理解。

数学上为什么要做出这样的规定?其实，历史上数学家对这个问题也多有困惑。

婆罗摩笈多认为0÷0=0;摩诃毗罗认为a÷0=a(a≠0);释律帕提认为a÷0=0(a≠0);而婆什迦罗虽然用相当于我们今天的专有名词来表示a÷0的结果，但他认为(a×0)÷0=a。

Reys和Grouws对中学生进行访谈[2]，一位八年级学生认为0÷0=0，并解释说：“一无所有除以一无所有，什么都得不到。”Wheeler和Feghali对52名职前小学教师的研究发现[3]：职前小学教师在“除以零”的理解上存在困难，67%的职前教师认为0÷0=0。

Ball对19名职前中小学教师进行访谈[4]，发现很少有人能合理解释为什么0不能作为除数。

Even和Tirosh对33名以色列中学数学教师进行调查，发现很多教师对于“为何4÷0无意义”的解释是“一种规定”[5]。

Crespo和Nicol在教学中发现[6]：小学生和职前小学教师普遍认为5÷0=0。

上述研究表明，今天学生对于“除以零”的困惑或误解确实具有历史相似性。

三、教学实践

要让小学数学教师充分认识和普遍接受HPM，首先要让他们看到成功的教学案例。

HPM视角下的数学教学，不能生硬地为历史而历史，必须兼顾知识点的历史发生、发展顺序、逻辑顺序以及儿童的心理发生、发展顺序。

数学史的运用方式也并不是单一的，有附加式、复制式、顺应式和重构式，视课堂需求而定。

附加式是指在课堂上讲述数学故事、人物生平、历史背景等。

例如：在引入“大数”时，讲述古希腊数学家阿基米德数沙的故事;在讲授“三角形的内角和”时，讲述法国数学家帕斯卡少年时代通过折纸证明三角形内角和定理的故事;在讲授“用字母表示数”时，讲述“未知数为什么用x来表示”的故事;在引入“众数”时，讲述古希腊伯罗奔尼撒战争中普拉提亚人数城墙砖块的故事;等等。

复制式是指在教学中直接使用历史上的数学问题。

例如，人教版六上“数学广角”单元即含有两个古代数学名题：一是《孙子算经》中的“雉兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何?”一是《算法统宗》中的“僧分馒头”问题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争。

小僧三人分一个，大小和尚得几丁?”古代数学名题犹如陈年佳酿，必能在课堂上散发醇香。

顺应式是指将数学史上的数学问题进行改编，或利用数学史材料编制数学问题，以顺应当前教学的需要。

例如，欧几里得《几何原本》第1卷命题37为：“同底且位于相同的两条平行线之间的三角形(面积)相等。”[8]利用该命题，可编制如下问题(人教版五上)：图1中有几对面积相等的三角形?(阴影部分的一对三角形被称为“欧几里得蝴蝶”)利用中国古代的七巧板，可编制如下分数问题(人教版五下)：图2中每个图形的面积占整个正方形面积的几分之几?图形7和4共占几分之几?图形3、4、5共占几分之几?

很多概念如果直接按照历史进行教学，可能并不自然，因而需要对历史进行重构。

以“负数”为例，我们知道，中国古代数学家因为解方程的需要而率先使用负数。

汉代数学名著《九章算术》方程章第3题所解的三元一次方程组问题是2x+y=13y+z=14z+x=1，第三个方程两边乘2，与第一个方程相减，出现了正数不够用的情形：y的系数等于0-1。

《九章算术》中不仅有正负数，还建立了正负数加减法则，即“正负术”。

加法法则为：“异名相除，同名相益;正无人正之，负无人负之。”即异号两数相加，绝对值相减;同号两数相加，绝对值相加;0加正数为正，0加负数为负。

类似地，减法法则为：“同名相除，异名相益;正无人负之，负无人正之。”魏晋时期数学家刘徽在注释“正负术”时说：“今两算得失相反，要令正负以名之。”在西方，13世纪意大利数学家斐波那契认为：方程x+36=33没有根，除非第一个人(x)欠债3个钱币。

16世纪德国数学家斯蒂菲尔指出：零减去一个大于零的数所得结果“小于一无所有”，是“荒谬的数”。

17世纪法国数学家帕斯卡则认为：0减去4纯属无稽之谈。

18世纪，仍有数学家感到困惑：世界上还有什么东西会“小于一无所有”?直到19世纪，还有数学家不接受负数。

显然，我们不能直接通过一元一次方程或二元一次方程组来引入负数;而历史又告诉我们，学生对于“直接从零中减去一个正数”这样的运算会感到困惑，所以也不能用它来引入负数，因此，只能通过重构式了。

四、结语

数学史有助于营造“知识之谐”，展现“方法之美”，成就“情感之悦”，实为数学教育所不可或缺。

数学史与数学教育之间的关系博大精深，足以成为小学数学教育中一个前景无限广阔的研究领域。

然而，无论是文献研究还是实证研究，目前我们所见到的有价值的成果还是很有限的。

虽然蔡宏圣老师和他的团队筚路蓝缕，取得了引人注目的成绩，但一个“小学HPM学术共同体”还有待建立。

我们热切期待有更多的小学数学教育研究者和一线教师关注HPM、走进HPM、研究HPM、实践HPM。

【参考文献】

[1]Smith，D.E.(1925).History of Mathematics(Vol.2).Boston：Ginn & Company，1925.226-227.

[2]Reys，R.E.& Grouws，D.A.(1975).Division involving zero：Some revealing thoughts from interviewing children.School Science and Mathematics，75(7)：593-605.

[3]Wheeler，M.M.& Feghali，I.(1983).Much ado about nothing：Preservice elementary school teachers’ concept of zero.Journal for Research in Mathematics Education，14(3)：147-155.

[4]Ball，D.L.(1990). Prospective elementary and secondary teachers’ understanding of division.Journal for Research in Mathematics Education，21：132-144.

[5]Even，R.，& Tirosh，D.(1995). Subject-matter knowledge and knowledge about students as sources of teacher presentations of the subject-matter.Educational Studies in Mathematics，29：1-20.

[6]Crespo，S.，Nicol，C..Challenging preservice teachers’ mathematical understanding：the case of division by zero.School Science and Mathematics，106(2)：84-97.

[7]Keiser，J.M.().Struggles with developing the concept of angle：comparing sixth-grade students’ discourse to the history of angle concept.Mathematical Thinking and Learning，6(3)：285-306.

[8]Heath，T.L.(1968).The Thirteen Books of Euclid’s Elements(Vol.1).Cambridge：The University Press.332.

篇6：《哲学研究》读后感

《哲学研究》读后感

维特根斯坦的《哲学研究》属于晚年探讨的范畴，它与《逻辑哲学论》的思辨深度不同，价值取向不同。在《逻辑哲学论》中，维特根斯坦主要是站在抽象的形式上，探讨如何改造传统的形式逻辑，借助符号语言把握句子结构的多样性。此时，他的研究视域和研究方法与罗素基本一致，因此得到了罗素的肯定，并亲自为维特根斯坦的处女作--《逻辑哲学论》撰写了“导论”。后来维特根斯坦放弃了理性思辨方法，转向了研究“表述的内容如何才能具有真实性”的问题，这样一来，他与罗素的理性思辨--借助数学方法创新数理逻辑的研究思路截然不同，走上了借助哲学方法创新语言逻辑规则的道路。遗憾的是，他的头脑中没有康德的认识结构、理性方法，于是只能停留在现象学领域，通过观察实验的方法，探索语言结构背后的规则，即支配形式逻辑规则的真理格式。用维特根斯坦的话说，就是“规则的规则”是什么?其结果便是陷入了苦恼的矛盾关系中。有限环节的一幅图画很容易绘制，这从他列举的诸多实例中可以看出来。无限环节的一幅图画是怎样的形式?这个问题始终困扰着维特根斯坦，由于无法解决有限和无限之间的矛盾性，所以，他的《哲学研究》只能停留在问题意识中，自始至终也不能给出一个清晰的答案。为此，后人将他的研究视域定位在现象学领域，这是十分准确的。超越现象的束缚，进到本质关系环节，在西方只有黑格尔的《逻辑学》才具有这样的实力。黑格尔之后，西方学者们都放弃了在本质环节进行逻辑推论的努力，结果使得西方当代哲学的认识视域全都局限的现象学领域，只是看问题的角度不同，形成了不同的学派分支。这一特点与马克思强调的应用哲学保持了高度的同一性。应该看到，探讨无限环节的本质关系，不是理性思辨方法能够胜任的，它需要采取《老子》所说的“道纪”方法，康德所说的'逻辑推论方法，它是一级一级、一个台阶一个台阶的向上推论，直到“抱一”为止。这种逻辑推论方法在维特根斯坦的头脑中并没有建立起来，这一缺陷使他无法在语言逻辑和哲学逻辑之间的对立统一关系中找到正确的答案。在我们看来，尽管维特根斯坦最终没有能够给出哲学逻辑的一幅图画，但是，他在西方逻辑学发展史上开创了探索语言逻辑与哲学逻辑关系的先河，因此他的研究成果在西方逻辑思维发展史上具有重要的历史地位。这是与罗素的数理逻辑更高一个级别的探索。人们会永远铭记这位在逻辑学领域不断追求真理足迹的哲学家所作的努力。罗素--他是数理逻辑的创建者之一。这是用数学方法改造传统形式逻辑结出的成果。维特根斯坦--他是哲学逻辑的探索者。这是一位企图终结逻辑学理论研究的智者，尽管他没有取得最后的成功，然而，他的努力构成了逻辑学理论研究的重要一环。而《老子》大道率先终结了逻辑学基础理论研究的全过程。这就是“不言之教”在时代哲学理论中的地位。无人能够取代《老子》的智慧，他才是天下第一的智者。2011年8月24日

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