混沌理论分形心得

下面是小编整理的混沌理论分形心得，本文共8篇，希望能帮助到大家!本文原稿由网友“凤凰山民”提供。

篇1：混沌理论分形心得

1.时间跨度越长，效果越好。

2.必须等确切的信号出来后再动手，设好止损不轻易改变

3.0.618的使用，用在回撤和上涨中个性有效。例如L1209的做空中，就是从最高点回到了黄金分割点。期货中这样的例子很多。另外，如果破了0.618这个点位，那么十之八九要到0.5这个位置，如果整个大趋势不好则会到0.382这个位置。

4.分形在分时中的应用：

这张图是M1301的分时，分形在分时图中的应用我才开始研究，虽然很浅显，但也找到一些规律，例如上面这张图，开盘上冲后打在了分时均线下，一般这样做日内空成功率很高。关键是止赢点的选取，比较麻烦，我还没有在日内和趋势里面找到好的平衡点。

这个是sr1205的分时，这个是2天分时的结合。第二天sr1205在分时上做了一个三角后站上了分时均线，那里选取做日内多是能够的。

大趋势的分析能够看出基本是多底结构，我查询了很多品种周线，基本如此，要么就是大的下降趋势的反转。

篇2：混沌分形之填充集

通过分形来生成图像，有一个特点是：不想生成什么样的图像就写出相应的算法，而是生成出来的图像像什么，那算法就是什么，总之，当你在写这个算法时或设置相关参数时，你几乎无法猜测出你要生成的图像是什么样子。而生成图像的时间又比较久，无法实时地调整参数。所以我这使用了填充集的方式，先计算少量的顶点，以显示出图像的大致轮廓。确定好参数后再进行图像生成。所谓填充集，就是随机生成顶点位置，当满足要求时顶点保留，否则剔除。这里将填充集的方式来生成Julia集，曼德勃罗集和牛顿迭代集.

（1）Julia集

复制代码

// 填充Julia集

// www.douban.com/note/230496472/

class JuliaSet2 : public FractalEquation

{

public:

JuliaSet2

{

m_StartX = 0.0f;

m_StartY = 0.0f;

m_StartZ = 0.0f;

m_ParamA = 0.11f;

m_ParamB = 0.615f;

m_nIterateCount = 80;

}

void IterateValue(float x, float y, float z, float& outX, float& outY, float& outZ) const

{

x = utX = yf_rand_real(-1.0f, 1.0f);

y = utY = yf_rand_real(-1.0f, 1.0f);

float lengthSqr;

float temp;

int count = 0;

do

{

temp = x * x - y * y + m_ParamA;

y = 2 * x * y + m_ParamB;

x = temp;

lengthSqr = x * x + y * y;

count++;

}

while ((lengthSqr < 4.0f) && (count < m_nIterateCount));

if (lengthSqr >4.0f)

{

utX = 0.0f;

utY = 0.0f;

}

utZ = z;

}

bool IsValidParamA() const {return true;}

bool IsValidParamB() const {return true;}

private:

int m_nIterateCount;

};

复制代码

（2）曼德勃罗集

复制代码

// 曼德勃罗集

// www.cnblogs.com/Ninputer/archive//11/24/1609364.html

class MandelbrotSet : public FractalEquation

{

public:

MandelbrotSet()

{

m_StartX = 0.0f;

m_StartY = 0.0f;

m_StartZ = 0.0f;

m_ParamA = -1.5f;

m_ParamB = 1.0f;

m_ParamC = -1.0f;

m_ParamD = 1.0f;

m_nIterateCount = 100;

}

void IterateValue(float x, float y, float z, float& outX, float& outY, float& outZ) const

{

float cr = m_ParamA + (m_ParamB - m_ParamA)*((float)rand()/RAND_MAX);

float ci = m_ParamC + (m_ParamD - m_ParamC)*((float)rand()/RAND_MAX);

utX = 0.0f;

utY = 0.0f;

float lengthSqr;

float temp;

int count = 0;

do

{

temp = outX * outX - outY * outY + cr;

utY = 2 * outX * outY + ci;

utX = temp;

lengthSqr = outX * outX + outY * outY;

count++;

}

while ((lengthSqr < 4.0f) && (count < m_nIterateCount));

if (lengthSqr < 4.0f)

{

utX = cr;

utY = ci;

}

else

{

utX = 0.0f;

utY = 0.0f;

}

utZ = z;

}

bool IsValidParamA() const {return true;}

bool IsValidParamB() const {return true;}

bool IsValidParamC() const {return true;}

bool IsValidParamD() const {return true;}

private:

int m_nIterateCount;

};

复制代码

（3）牛顿迭代集

复制代码

// 牛顿迭代

// www.douban.com/note/230496472/

class NewtonIterate : public FractalEquation

{

public:

NewtonIterate()

{

m_StartX = 0.0f;

m_StartY = 0.0f;

m_StartZ = 0.0f;

m_ParamA = 1.0f;

m_nIterateCount = 64;

}

void IterateValue(float x, float y, float z, float& outX, float& outY, float& outZ) const

{

x = utX = yf_rand_real(-m_ParamA, m_ParamA);

y = utY = yf_rand_real(-m_ParamA, m_ParamA);

float xx, yy, d, tmp;

for (int i = 0; i < m_nIterateCount; i++)

{

xx = x*x;

yy = y*y;

d = 3.0f*((xx - yy)*(xx - yy) + 4.0f*xx*yy);

if (fabsf(d) < EPSILON)

{

d = d >0.0f ? EPSILON : -EPSILON;

}

tmp = x;

x = 0.666667f*x + (xx - yy)/d;

y = 0.666667f*y - 2.0f*tmp*y/d;

}

if (x < 0.0f)

{

utX = 0.0f;

utY = 0.0f;

}

utZ = z;

}

bool IsValidParamA() const {return true;}

private:

int m_nIterateCount;

};

篇3：混沌分形研究课程论文

摘 要：本文介绍分形理论的产生与发展现状，让初学者了解这一非线性科学中的又一角色在我们认识复杂世界的思维过程中的重要性，让我们再一次看到自然界的混沌性。希望更多的有志青年投入到贯穿各个领域的非线性科学的研究中。

非线性 分形理论概述 分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科。分形的概念是美籍数学家曼德布罗特(B.B.Mandelbort)首先提出的。1967年他在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?》的著名论文。海岸线作为曲线，其特征是极不规则、极不光滑的，呈现极其蜿蜒复杂的变化。我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同,这种几乎同样程度的不规则性和复杂性,说明海岸线在形貌上是自相似的，也就是局部形态和整体形态的相似。在没有建筑物或其他东西作为参照物时,在空中拍摄的100公里长的海岸线与放大了的10公里长海岸线的两张照片，看上去会十分相似。事实上，具有自相似性的形态广泛存在于自然界中，如：连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、布朗粒子运动的轨迹、树冠、花菜、大脑皮层……曼德布罗特把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形 (fractal)。1975年,他创立了分形几何学(fractal geometry)。在此基础上，形成了研究分形性质及其应用的科学，称为分形理论 (fractal theory)。

分形理论既是非线性科学的前沿和重要分支，又是一门新兴的横断学科。作为一种方法论和认识论，其启示是多方面的：一是分形整体与局部形态的相似，启发人们通过认识部分来认识整体，从有限中认识无限；二是分形揭示了介于整体与部分、有序与无序、复杂与简单之间的新形态、新秩序；三是分形从一特定层面揭示了世界普遍联系和统一的图景。

分行理论：

自相似原则：线性分形又称为自相似分型。自相似原则和迭代生成原则是分形理论的重要原则。它表征分形在通常的几何变换下具有不变性,即标度无关性。由自相似性是从不同尺度的对称出发,也就意味着递归。分形形体中的自相似性可以是完全相同,也可以是统计意义上的相似。标准的自相似分形是数学上的抽象,迭代生成无限精细的结构,如科契(Koch)雪花路线、谢尔宾斯基(Sierpinski)地毯曲线等。这种有规分形只是少数,绝大部分分形是统计意义上的无规分形。 这里再进一步介绍分形的分类，根据自相似性的程度，分形可以分为有规分形和无规分形，有规分形是指具体有严格的自相似性，即可以通过简单的数学模型来描述其相似性的分形，比如三分康托集、Koch曲线等；无规分形是指具有统计学意义上的自相似性的分形，比如曲折连绵的海岸线，漂浮的云朵等。

分维作用：分维，作为分形的定量表征和基本参数，是分形理论的又一重要原则。分维，又称分形维或分数维，通常用分数或带小数点的数表示。长期以来人们习惯于将点定义为零维，直线为一维，平面为二维，空间为三维，爱因斯坦在相对论中入时间维，就形成四维时空。对某一问题给予多方面的考虑，可建立高维空间，但都是整数维。在数学上，把欧氏空间的几何对象连续地拉伸、压缩、扭曲，维数也不变，这就是拓扑维数。然而，这种传统的维数观受到了挑战。曼德布罗特曾描述过一个绳球的维数：从很远的距离观察这个绳球，可看作一点(零维)；从较近的距离观察，它充满了一个球形空间(三维)；再近一些，就看到了绳子(一维)；再向微观深入，绳子又变成了三维的柱，三维的柱又可分解成一维的纤维。那么，介于这些观察点之间的中间状态又如何呢？

显然，并没有绳球从三维对象变成一维对象的确切界限。数学家豪斯道夫年提出了连续空间的概念，也就是空间维数是可以连续变化的，它可以是整数也可以是分数，称为豪斯道夫维数。记作Df，一般的表达式为：K=LDf，也作K=(1/L)-Df，取对数并整理得Df=lnK/lnL，其中L为某客体沿其每个独立方向皆扩大的倍数，K为得到的新客体是原客体的倍数。显然，Df在一般情况下是一个分数。因此，曼德布罗特也把分形定义为豪斯道夫维数大于或等于拓扑维数的集合。英国的海岸线为什么测不准？因为欧氏一维测度与海岸线的维数不一致。根据曼德布罗特的计算，英国海岸线的维数为1.26。有了分维，海岸线的长度就确定了。

几种典型的分形：

三分康托集：

1883年，德国数学家康托(G.Cantor)提出了如今广为人知的三分康托集。三分康托集是很容易构造的，然而，它却显示出许多最典型的分形特征。它是从单位区间出发 。

区间不断地去掉部分子区间的过程

三分康托集的构造过程 构造出来的(如右图)。其详细构造过程是：第一步，把闭区间[0，1]平均分为三段，去掉中间的 1/3 部分段，则只剩下两个闭区间[0，1/3]和[2/3，1]。第二步，再将剩下的两个闭区间各自平均分为三段，同样去掉中间的'区间段，这时剩下四段闭区间：[0，1/9]，[2/9，1/3]，

[2/3，7/9]和[8/9，1]。第三步，重复删除每个小区间中间的 1/3 段。如此不断的分割下去， 最后剩下的各个小区间段就构成了三分康托集。 三分康托集的 Hausdorff维数是0.6309。

19，瑞典数学家柯郝构造了 “Koch曲线”几何图形。Koch曲线大于一维，具有无限的长度，但是又小于二维，并且生成的图形的面积为零。它和三分康托集一样，是一个典型的分形。根据分形的次数不同，生成的Koch 曲线也有很多种，比如三次 Koch 曲线，四次 Koch 曲线等。下面以三次 Koch 曲线为例，介绍 Koch 曲线的构造方法。

依此类推。

三次Koch曲线的构造过程主要分为三大步骤：第一步，给定一个初始图形——一条线段；第二步，将这条线段中间的 1/3 处向外折起；第三步，按照第二步的方法不断的把各段线段中间的 1/3 处向外折起。这样无限的进行下去，最终即可构造出Koch曲线。其图例构造过程如右图所示(迭代了 6 次的图形)。Julia 集

分形理论的发展

分形理论自从诞生之后就得到了迅速的发展，并在自然科学、社会科学、思维科学等各个领域都获得了广泛的应用。如今，分形和分维的概念早已从最初所指的形态上具有自相似性质的几何对象这种狭义分形，扩展到了在结构、功能、信息、时间上等具有自相似性质的广义分形。人们在自然、社会、思维等各个领域都发现了分形现象，出现了诸如分形物理学、分形生物学、分形结构地质学、分形地震学、分形经济学、分形人口学等，发现了材料学、化学、天文学中的分形及思维分形、情报分形等等。

人们现在已经认识到分形理论所揭示的自相似现象和混沌、破碎现象在客观世界中是普遍存在的。

分形的概念和思想现正在被人们抽象为一种科学方法论，这就是分形方法论。它的内容主要包括以下两点：第一，以分形客体的部分和整体之间的自相似性为锐利的武器，通过认识部分来反映和认识整体，以及通过认识整体来把握和深化对部分的认识；第二，运用分形理论的思想和方法，从无序中发现有序，揭示杂乱、破碎、混沌等极不规则的复杂现象内部所蕴涵的规律。

分形方法论从本质上看也是一种系统方法，研究分形现象需要系统的观点和方法。分形方法论的产生是属于清算还原论、倡导系统方法论这一科学发展总趋势的产物，它是复杂性。

研究的一个方面军，是近30多年来提出的处理复杂性的理论方案之一。分形学理论和自组织理论、混沌理论密切相关，它与混沌理论及孤子理论被人们誉为现代非线性科学的三大前沿。

分形理论的企业经济学观点外延：人类社会不同的阶层具有自相似的结构，仅此而言，非线性问题的研究对社会的进步与发展有着积极的推动作用。随着知识经济时代的到来，非线性科学在各个学科领域内将得到更为广泛的应用与发展，特别是企业组织在网络经济环境下的变革方面尤为突出。凯思斯学派认为，社会商品产量N完全由社会有效需求所决定，此为决定论的观点。分形论则认为，社会总产出与社会总需求的关系是非常复杂的。它们的关系可能是周期性的，也可能是出现某中混沌局面。对于当前国际金融风暴的形式下，该混沌现象直接影响到企业组织的发展与优化。

分形理论的管理学应用： 管理科学是一门综合性学科，其内涵十分丰富。它不仅涉及到生产关系与上层建筑，也涉及到生产力的组织与应用。近年来，由于城市的快速发展.随之而来的是社会治安、交通拥挤、环境污染、人口控制、能源紧缺等一系列问题。用分形论原理管理城市是近年来崛起的管理科学中的一个分支。城市建筑、道路分布、商业网点布局、生活服务设施建设、信息告诉公路建设等在一定程度上满足了分形结构的研究理论范畴。在管理科学领域内，其组织建设、管理方法与手段等方面都表现出一定的层次、结构、功能和信息的相似性。从最底层管理到最高层管理、从局部到整体、从政务与科技管理到经济财务管理，也都体现着一定的自相似性。可以认为，在知识经济社会里，分形理论将成为管理科学的基础。 分形理论的管理学应用：管理科学是一门综合性学科，其内涵十分丰富。它不仅涉及到生产关系与上层建筑，也涉及到生产力的组织与应用。近年来，由于城市的快速发展.随之而来的是社会治安、交通拥挤、环境污染、人口控制、能源紧缺等一系列问题。用分形论原理管理城市是近年来崛起的管理科学中的一个分支。城市建筑、道路分布、商业网点布局、生活服务设施建设、信息告诉公路建设等在一定程度上满足了分形结构的研究理论范畴。在管理科学领域内，其组织建设、管理方法与手段等方面都表现出一定的层次、结构、功能和信息的相似性。从最底层管理到最高层管理、从局部到整体、从政务与科技管理到经济财务管理，也都体现着一定的自相似性。可以认为，在知识经济社会里，分形理论将成为管理科学的基础。

篇4：混沌分形之朱利亚集（JuliaSet）

朱利亚集合是一个在复平面上形成分形的点的集合，以法国数学家加斯顿·朱利亚（Gaston Julia）的名字命名。我想任何一个有关分形的资料都不会放过曼德勃罗集和朱利亚集。这里将以点集的方式生成出朱利亚集的图形。

关于基类FractalEquation的定义及相关软件见：混沌与分形

复制代码

class JuliaSet : public FractalEquation

{

public:

JuliaSet

{

m_StartX = 0.0f;

m_StartY = 0.0f;

m_StartZ = 0.0f;

m_ParamA = -0.75f;

m_ParamB = 0.01f;

}

void IterateValue(float x, float y, float z, float& outX, float& outY, float& outZ) const

{

float wx, wy;

float r;

float theta;

float rnd = yf_rand_real(1.0f);

wx = x-m_ParamA;

wy = y-m_ParamB;

if(wx == 0)

theta = PI/2;

if(wx >0)

theta = atanf(wy/wx);

if(wx < 0)

theta = PI-atanf(wy/wx);

theta = theta/2;

r = sqrtf(wx*wx+wy*wy);

if(rnd < 0.5f)

r = sqrt(r);

else

r = -sqrt(r);

utX = r*cos(theta);

utY = r*sin(theta);

utZ = z;

}

bool IsValidParamA() const {return true;}

bool IsValidParamB() const {return true;}

};

篇5：分形

分形，具有以非整数维形式充填空间的形态特征。分形（Fractal）一词，是芒德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义。1973年，芒德勃罗（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形的设想。分形是一个数学术语，也是一套以分形特征为研究主题的数学理论。分形理论既是非线性科学的前沿和重要分支，又是一门新兴的横断学科，是研究一类现象特征的新的数学分科，相对于其几何形态，它与微分方程与动力系统理论的联系更为显著。分形的自相似特征可以是统计自相似，构成分形也不限于几何形式，时间过程也可以，故而与鞅论关系密切。分形几何是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界普遍存在，因此分形几何学又被称为描述大自然的几何学。分形几何学建立以后，很快就引起了各个学科领域的关注。不仅在理论上，而且在实用上分形几何都具有重要价值。

“谁不知道熵概念就不能被认为是科学上的文化人，将来谁不知道分形概念，也不能称为有知识。”――物理学家惠勒 分形理论是在上世纪70年代由芒德布罗几乎集一己之力创立的，但其严格的数学基础之一――芒德布罗集，却是70年代末芒德布罗及布鲁克斯、马蒂尔斯基以及道阿迪、哈伯德、沙斯顿等人几乎同时分别建立完善的，他们的思想都源自上世纪前叶一些前辈如法图、莱维、朱利亚的有关思想。 中文文献中芒德布罗的译名一直不统一，芒德布罗本人使用的中文名字是“本华・曼德博”，可见于其耶鲁大学网站个人主页照片，为竖排繁体汉字手写体。全国科学技术名词审定委员会在数学、物理学、力学等几个学科术语的译名中，使用的都是“芒德布罗”。本华・曼德博（1924－，法语原文Beno?t B. Mandelbrot），生于波兰的立陶宛裔犹太家庭，主要成长教育经历是在法国完成的，后长期在美国工作。如果追求音译的准确，还应考虑Mandelbrot姓氏最初的来源，这是一个明显地具有阿什肯那兹犹太姓氏特征的姓（德语“杏仁”+“面包”）。 分形现已成为应用极为广泛的学科。芒德布罗个人风格独特，对各类看似“无定形”、“不光滑”的“怪东西”皆富有兴趣，也正是这样他才能最终抽象创立出分形这门学科。曼德布罗特来访过中国大陆一次以上，称中国文字个个是图形，与他路数相合（芒德布罗本人习用法语）。中国最早使用分形理论的可能是金属学界。 现今人们熟悉的分形的著名实例，如用“镂空”办法制成的康托尔集、谢尔宾斯基三角形(Waclaw Sierpinski,1882-1969，波兰数学家)及门格奶酪或称门格海绵（Menger，1902-1985，为著名经济学家门格之子），它们的非整数维数是渐增的，分别为0.63、1.58、2.72，而它们长度、面积、体积令人吃惊的皆为0。另一个用“凸起”办法制作的科赫曲线(H.von Koch,1870-1924，瑞典数学家)，其维数是1.26，它的长度则是无限的，可它围住的面积却有限！ 分形作为一种数学工具，现已应用于各个领域，如应用于计算机辅助使用的各种分析软件中。

据芒德布罗教授自己说，fractal一词是1975年夏天的一个寂静夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典时，突然想到的。此词源于拉丁文形容词fractus，对应的拉丁文动词是frangere（“破碎”、“产生无规碎片”）。此外与英文的fraction（“碎片”、“分数”）及fragment（“碎片”）具有相同的词根。在70年代中期以前，芒德布罗一直使用英文fractional一词来表示他的分形思想。因此，取拉丁词之头，撷英文之尾的fractal，本意是不规则的、破碎的、分数的。芒德布罗是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象。例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花缭乱的满天繁星等。它们的特点都是，极不规则或极不光滑。直观而粗略地说，这些对象都是分形。

几何学

分形几何与传统几何相比有什么特点： ⑴从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。 ⑵在不同尺度上，图形的规则性又是相同的。上述的海岸线和山川形状，从近距离观察，其局部形状又和整体形态相似，它们从整体到局部，都是自相似的。当然，也有一些分形几何图形，它们并不完全是自相似的。其中一些是用来描述一般随机现象的，还有一些是用来描述混沌和非线性系统的。

什么是分维

在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。也可以稍加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，但通常人们习惯于整数的维数。分形理论把维数视为分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，19，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。 分维的概念我们可以从两方面建立起来：一方面，我们首先画一个线段、正方形和立方体，它们的边长都是1。将它们的'边长二等分，此时，原图的线度缩小为原来的1/2，而将原图等分为若干个相似的图形。其线段、正方形、立方体分别被等分为2^1、2^2和2^3个相似的子图形，其中的指数1、2、3，正好等于与图形相应的经验维数。一般说来，如果某图形是由把原图缩小为1/a的相似的b个图形所组成，有： a^D=b,D=(ln b)/(ln a) 的关系成立，则指数D称为相似性维数，D可以是整数，也可以是分数。另一方面，当我们画一根直线，如果我们用0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点；如果我们用一块平面来量它，其结果是0，因为直线中不包含平面。那么，用怎样的尺度来量它才会得到有限值哪？看来只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值，而这里直线的维数为1（大于0、小于2）。与此类似，如果我们画一个Koch曲线，其整体是一条无限长的线折叠而成，显然，用小直线段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是0（此曲线中不包含平面），那么只有找一个与Koch曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于1、小于2，那么只能是小数（即分数）了，所以存在分维。Koch曲线的每一部分都由4个跟它自身比例为1:3的 形状相同的小曲线组成，那么它的豪斯多夫维数（分维数）为d=log(4)/log(3)=1.26185950714...

定义

芒德布罗曾经为分形下过两个定义： （1）满足下式条件 Dim(A)>dim(A) 的集合A，称为分形集。其中，Dim(A)为集合A的Hausdoff维数（或分维数），dim(A)为其拓扑维数。一般说来，Dim(A)不是整数，而是分数。 （2）部分与整体以某种形式相似的形，称为分形。 然而，经过理论和应用的检验，人们发现这两个定义很难包括分形如此丰富的内容。实际上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义，正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列特性来加以说明。对分形的定义也可同样的处理。 分形一般有以下特质： 在任意小的尺度上都能有精细的结构； 太不规则，以至难以用传统欧氏几何的语言描述； （至少是大略或任意地）自相似豪斯多夫维数会大於拓扑维数（但在空间填充曲线如希尔伯特曲线中为例外）； 有著简单的递归定义。 （i）分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。 （ii）分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。 （iii）分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。 （iv）一般，分形集的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑维数。 （v）在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方法定义，可能以变换的迭代产生。

意义

上世纪80年代初开始的“分形热”经久不息。分形作为一种新的概念和方法，正在许多领域开展应用探索。美国物理学大师约翰・惠勒说过：今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人。由此可见分形的重要性。 中国著名学者周海中教授认为：分形几何不仅展示了数学之美，也揭示了世界的本质，还改变了人们理解自然奥秘的方式；可以说分形几何是真正描述大自然的几何学，对它的研究也极大地拓展了人类的认知疆域。 分形几何学作为当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科，它的出现，使人们重新审视这个世界：世界是非线性的，分形无处不在。分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义。

篇6：分形

目录基本信息剧情介绍基本信息

动漫名称：分形 英文名称：Fractale 动漫类型：日产动画 制作发行：东映 地区：日本 对白语言：日语发音 中文字幕 剧情类别：冒险 出品年份： 主 角：克劳岱尔

自从能够管理世界的“Fractale System(分形系统)”完成以来，让人类在世上能够不需要工作就能生存下去，使他们能够真真正正地踏足于乐园之上。而这样的生活在持续了千年之后，这个时至今日仍然运作的系统，虽然仍在运行，却已经到达没有人能够解析的地步了。在这个乐园上，大多数的人都相信他们之所以拥有幸福，全因为这个系统仍在持续运行着。而故事的开端，就开始在Fractale System开始崩坏，于某大陆的某一小岛之上…… 详见百科词条 ：fractale

篇7：分形

目录简介目录简介

《分形（第2版）》是《分形》的第2版，第1版在1995年8月由清华大学出版社出版。《分形（第2版）》以自然界中普遍存在的非平衡非线性复杂系统中自发形成的各种时空有序状态（或结构）为研究对象，介绍了分形理论的基本概念、数学基础和研究方法，及其在凝聚态物理学、材料科学、化学、生物学、医学、地震学、经济学等学科中的应用。 《分形（第2版）》内容丰富、生动形象，并附有适量的计算机模拟程序，可作为对非平衡非线性研究感兴趣的各学科研究工作者学习分形理论的入门书，也可作为大学本科生和研究生学习分形理论的教材和参考书。

绪论 第1章 非线性复杂系统与非线性热力学 1.1 自组织现象 1.2 自相似性 1.3 标度不变性 1.4 非线性非平衡态热力学 第2章 分形的数学基础 2.1 非欧氏几何学 2.2 Hausdorff测度和维数 2.3 维数的其他定义 2.4 非均匀线性变换 2.5 重正化群 第3章 经典分形与Mandelbrot集 3.1 Cantot集 3.2 Koch曲线 3.3 Sierpinski集 3.4 Julia集 3.5 Mandelbrot集 第4章 分形维数的测定 4.1 基该方法 4.1.1 改变观察尺度求维数 4.1.2 根据测度关系求维数 4.1.3 根据相关函数求维数 4.1.4 根据分布函数求维数 4.1.5 根据频谱求维数 4.2 盒维数 4.3 函数图的维数 4.4 码尺与分形维数的关系 第5章 产生分形的物理机制与生长模型 5.1 产生分形的物理机制 5.2 分形与混沌 5.3 分支与自组织 5.4 有限扩散凝聚（DI。A)模型 5.5 弹射凝聚（BA)模型 5.6 反应控制凝聚（RI。A)模型 5.7 粘性指延与渗流 第6章 分形生长的计算机模拟 6.1 DLA生长的Monte Carlo模拟 6.2 DLCA生长模拟 6.3 各向异性DLA凝聚 6.4 扩散控制沉积的模拟 6.5 复杂生物形态的模拟 第7章 气固相变与分形 7.1 氧化钼的分形生长 7。2碘的分形生长 7.3 氧化钨的分形生长 7.4 核晶凝聚（NA)模型 第8章 分形生长的实验研究 8一合金薄膜 8.2 电解沉积 8.3 溅射凝聚 8.4 非晶态膜的晶化 8.5 粘性指延 8.6 电介质击穿 8.7 水溶液结晶 第9章 不同体系中的分形生长 9.1 氧化亚锡从结晶生长到分形生长 9.1.1 快速冷却 9.1.2 慢速冷却 9.2 猪胆汁从结晶生长到分形生长 9.3 人胆汁的分形生长 9.4 硼酸晶体的分形生长 9.5 真空中非晶碳的分形生长 9.6 电子辐照在聚丙烯中引发的分形生长 第10章 自组织生长 10.1 自然界的自组织生长 10.1.1 北极的地表砾石组成的环形图形 10.1.2 沙漠的有序图形 10.1.3 变幻莫测的云 10.1.4 人类基因DNA序列图 10.1.5 海贝壳 10.1.6 珊瑚表面的有序结构 10.2 氧化镉的自组织生长 第11章 分形理论的应用 11.1 生物学 11.2 地球物理学 11.3 物理学和化学 11.4 天文学 11.5 材料科学 11.6 计算机图形学 11.7 经济学 11.8 语言学与情报学 11.9 音乐 第12章 分形理论的发展 12.1 广义维数和广延维数 12.2 多重分形 12.3 分形子与无序系统 12.3.1 分形固体的振动（分形子的引入） 12.3.2 分形子的实验观察 12.3.3 分形子动力学理论 12.3.4 分形子与谱维数 12.4 小波变换的应用 12.5 涨落与有序 12.5.1 涨落 12.5.2 涨落和关联 12.5.3 涨落的放大 12.6 研究方向 附录计算机模拟源程序 参考文献

篇8：混沌分形之迭代函数系统（IFS）

IFS是分形的重要分支，它是分形图像处理中最富生命力而且最具有广阔应用前景的领域之一。这一工作最早可以追溯到Hutchinson于1981年对自相似集的研究。美国科学家M.F.Barnsley于1985年发展了这一分形构型系统，并命名为迭代函数系统（Iterated Function System，IFS），后来又由Stephen Demko等人将其公式化，并引入到图像合成领域中。IFS将待生成的图像看做是由许多与整体相似的（自相似）或经过一定变换与整体相似的（自仿射）小块拼贴而成。

算法：

1.设定一个起始点（x0，y0）及总的迭代步数。

2.以概率P选取仿射变换W，形式为

X1=a*x0 + b*y0 + e

Y1=c*x0 + d*y0 + f

或

X1=(a * x0*cosf(c/180)) - (b * y0*sinf(d/180)) + e

Y1=(a * x0*sinf(c/180)) + (b * y0*cosf(d/180)) + f

3.以W作用点（x0，y0），得到新坐标（x1，y1）。

4.令x0=x1，y0=y1。

5.在屏幕上打出（x0，y0）。

6.重返第2步，进行下一次迭代，直到迭代次数大于总步数为止。

（1）三角形

复制代码

class IFSTriangle : public FractalEquation

{

public:

IFSTriangle()

{

m_StartX = 0.0f;

m_StartY = 0.0f;

m_StartZ = 0.0f;

m_ParamA = 0.0f;

m_ParamB = 0.5f;

//'IFS码赋值

m[0][0] = 0.5f; m[0][1] = 0; m[0][2] = 0; m[0][3] = 0.5f; m[0][4] = 0;  m[0][5] = 0;  m[0][6] = 0.333f;

m[1][0] = 0.5f; m[1][1] = 0; m[1][2] = 0; m[1][3] = 0.5f; m[1][4] = 0.5f; m[1][5] = 0;  m[1][6] = 0.333f;

m[2][0] = 0.5f; m[2][1] = 0; m[2][2] = 0; m[2][3] = 0.5f; m[2][4] = 0.25f; m[2][5] = 0.5f; m[2][6] = 0.334f;

}

void IterateValue(float x, float y, float z, float& outX, float& outY, float& outZ) const

{

float a, b, c, d, e, f;  //'仿射变幻中的系数

float R = (float)rand()/RAND_MAX;

if (R <= m[0][6])

{

a = m[0][0]; b = m[0][1]; c = m[0][2]; d = m[0][3]; e = m[0][4]; f = m[0][5];

}

else if (R <= m[0][6] + m[1][6])

{

a = m[1][0]; b = m[1][1]; c = m[1][2]; d = m[1][3]; e = m[1][4]; f = m[1][5];

}

else

{

a = m[2][0]; b = m[2][1]; c = m[2][2]; d = m[2][3]; e = m[2][4]; f = m[2][5];

}

utX = (a * x) + (b * y) + e*FRACTAL_RADIUS;

utY = (c * x) + (d * y) + f*FRACTAL_RADIUS;

utZ = z;

}

bool IsValidParamA() const {return true;}

bool IsValidParamB() const {return true;}

void SetParamA(float v)

{

m_ParamA = v;

m[2][1] = v;

}

void SetParamB(float v)

{

m_ParamB = v;

m[2][0] = v;

m[0][3] = v;

}

private:

float m[3][7];   // '存放IFS码

};

复制代码

这里生成的是谢尔宾斯基三角形，但可以通过参数设置对其变形

（2）皇冠

复制代码

class IFSCrown : public FractalEquation

{

public:

IFSCrown()

{

m_StartX = 0.0f;

m_StartY = 0.0f;

m_StartZ = 0.0f;

m_ParamA = 2.0f;

//'IFS码赋值

m[0][0] = 0.5f; m[0][1] = 0.5f; m[0][2] = 0; m[0][3] = 0; m[0][4] = 0;  m[0][5] = 0; m[0][6] = 0.2f;

m[1][0] = 0.5f; m[1][1] = 0.5f; m[1][2] = 0; m[1][3] = 0; m[1][4] = 0.5f; m[1][5] = 0; m[1][6] = 0.2f;

m[2][0] = 0.25f; m[2][1] = 0.25f; m[2][2] = 0; m[2][3] = 0; m[2][4] = 2.0f; m[2][5] = 2.0f;m[2][6] = 0.3f;

m[3][0] = 0.25f; m[3][1] = 0.25f; m[3][2] = 0; m[3][3] = 0; m[3][4] = -1.0f;m[3][5] = 2.0f;m[3][6] = 0.3f;

}

void IterateValue(float x, float y, float z, float& outX, float& outY, float& outZ) const

{

float a, b, c, d, e, f;  //'仿射变幻中的系数

float R = (float)rand()/RAND_MAX;

if (R <= m[0][6])

{

a = m[0][0]; b = m[0][1]; c = m[0][2]; d = m[0][3]; e = m[0][4]; f = m[0][5];

}

else if (R <= m[0][6] + m[1][6])

{

a = m[1][0]; b = m[1][1]; c = m[1][2]; d = m[1][3]; e = m[1][4]; f = m[1][5];

}

else if (R <= m[0][6] + m[1][6] + m[2][6])

{

a = m[2][0]; b = m[2][1]; c = m[2][2]; d = m[2][3]; e = m[2][4]; f = m[2][5];

}

else

{

a = m[3][0]; b = m[3][1]; c = m[3][2]; d = m[3][3]; e = m[3][4]; f = m[3][5];

}

utX = (a * x*cosf(c/180)) - (b * y*sinf(d/180)) + e*FRACTAL_RADIUS;

utY = (a * x*sinf(c/180)) + (b * y*cosf(d/180)) + f*FRACTAL_RADIUS;

utZ = z;

}

bool IsValidParamA() const {return true;}

void SetParamA(float v)

{

m_ParamA = v;

m[2][4] = v;

m[2][5] = v;

m[3][4] = 1 - v;

m[3][5] = v;

}

private:

float m[4][7];   // '存放IFS码

};

复制代码

（3）芦苇

复制代码

// 芦苇

class IFSBulrush : public FractalEquation

{

public:

IFSBulrush()

{

m_StartX = 0.0f;

m_StartY = 0.0f;

m_StartZ = 0.0f;

m_ParamA = 10.0f;

float k = m_ParamA*100.0f;

//'IFS码赋值

m[0][0] = 0.5f; m[0][1] = 0.5f; m[0][2] = 0; m[0][3] = 0; m[0][4] = 0;  m[0][5] = 0;    m[0][6] = 0.3f;

m[1][0] = 0.5f; m[1][1] = 0.5f; m[1][2] = k; m[1][3] = k; m[1][4] = 1;  m[1][5] = k/1600; m[1][6] = 0.3f;

m[2][0] = 0.5f; m[2][1] = 0.5f; m[2][2] = 0; m[2][3] = 0; m[2][4] = 0.5f; m[2][5] = 0;    m[2][6] = 0.4f;

}

void IterateValue(float x, float y, float z, float& outX, float& outY, float& outZ) const

{

float a, b, c, d, e, f;  //'仿射变幻中的系数

float R = (float)rand()/RAND_MAX;

if (R <= m[0][6])

{

a = m[0][0]; b = m[0][1]; c = m[0][2]; d = m[0][3]; e = m[0][4]; f = m[0][5];

}

else if (R <= m[0][6] + m[1][6])

{

a = m[1][0]; b = m[1][1]; c = m[1][2]; d = m[1][3]; e = m[1][4]; f = m[1][5];

}

else

{

a = m[2][0]; b = m[2][1]; c = m[2][2]; d = m[2][3]; e = m[2][4]; f = m[2][5];

}

utX = (a * x*cosf(c/180)) - (b * y*sinf(d/180)) + e*FRACTAL_RADIUS;

utY = (a * x*sinf(c/180)) + (b * y*cosf(d/180)) + f*FRACTAL_RADIUS;

utZ = z;

}

bool IsValidParamA() const {return true;}

void SetParamA(float v)

{

m_ParamA = v;

float k = m_ParamA*100.0f;

m[1][2] = k;

m[1][3] = k;

m[1][5] = k/1600;

}

private:

float m[3][7];   // '存放IFS码

};

复制代码

（4）万花筒

复制代码

// 万花筒

class IFSPhantoscope : public FractalEquation

{

public:

IFSPhantoscope()

{

m_StartX = 0.0f;

m_StartY = 0.0f;

m_StartZ = 0.0f;

m_ParamA = 2.0f;

float k = m_ParamA*100.0f;

//'IFS码赋值

m[0][0] = 0.2f; m[0][1] = 0.2f; m[0][2] = 0; m[0][3] = 0; m[0][4] = 0.7f; m[0][5] = 0;  m[0][6] = 0.2f;

m[1][0] = 0.2f; m[1][1] = 0.2f; m[1][2] = 0; m[1][3] = 0; m[1][4] =-0.7f; m[1][5] = 0;  m[1][6] = 0.2f;

m[2][0] = 0.2f; m[2][1] = 0.2f; m[2][2] = 0; m[2][3] = 0; m[2][4] = 0;  m[2][5] = 0.7f; m[2][6] = 0.2f;

m[3][0] = 0.2f; m[3][1] = 0.2f; m[3][2] = 0; m[3][3] = 0; m[3][4] = 0;  m[3][5] = -0.7f; m[3][6] = 0.2f;

m[4][0] = 0.85f; m[4][1] = 0.85f; m[4][2] = k; m[4][3] = k; m[4][4] = 0;  m[4][5] = 0;  m[4][6] = 0.2f;

}

void IterateValue(float x, float y, float z, float& outX, float& outY, float& outZ) const

{

float a, b, c, d, e, f;  //'仿射变幻中的系数

float R = (float)rand()/RAND_MAX;

if (R <= m[0][6])

{

a = m[0][0]; b = m[0][1]; c = m[0][2]; d = m[0][3]; e = m[0][4]; f = m[0][5];

}

else if (R <= m[0][6] + m[1][6])

{

a = m[1][0]; b = m[1][1]; c = m[1][2]; d = m[1][3]; e = m[1][4]; f = m[1][5];

}

else if (R <= m[0][6] + m[1][6] + m[2][6])

{

a = m[2][0]; b = m[2][1]; c = m[2][2]; d = m[2][3]; e = m[2][4]; f = m[2][5];

}

else if (R <= m[0][6] + m[1][6] + m[2][6] + m[3][6])

{

a = m[3][0]; b = m[3][1]; c = m[3][2]; d = m[3][3]; e = m[3][4]; f = m[3][5];

}

else

{

a = m[4][0]; b = m[4][1]; c = m[4][2]; d = m[4][3]; e = m[4][4]; f = m[4][5];

}

utX = (a * x*cosf(c/180)) - (b * y*sinf(d/180)) + e*FRACTAL_RADIUS;

utY = (a * x*sinf(c/180)) + (b * y*cosf(d/180)) + f*FRACTAL_RADIUS;

utZ = z;

}

bool IsValidParamA() const {return true;}

void SetParamA(float v)

{

m_ParamA = v;

float k = m_ParamA*100.0f;

m[4][2] = k;

m[4][3] = k;

}

private:

float m[5][7];   // '存放IFS码

};

分形理论在云南个旧锡矿遥感信息定量化分析中的应用

包混沌作文

党员理论学习体会心得

教学理论读书心得

《孙子兵法》军形篇心得

混沌理论分形心得.doc

将本文的Word文档下载到电脑，方便收藏和打印

推荐度：

点击下载文档